Cómo integrar por partes: una de las técnicas de integración más usadas en el cálculo integral
- Artemiy Rovinski
- hace 12 horas
- 2 Min. de lectura
¿Estás estudiando cálculo integral y te topaste con funciones que simplemente no se pueden integrar directo? Entonces es momento de aprender una de las herramientas más poderosas en el mundo de las integrales: la integración por partes.
Si alguna vez intentaste integrar algo como x·e^x y no supiste cómo, este blog es para ti. Te explicamos cómo funciona esta técnica paso a paso y cómo usarla como un verdadero matemático.
¿Qué es la integración por partes?
La fórmula de integración por partes es una forma de traducir la regla del producto de la derivada al mundo de las integrales. Es como “deshacer” la derivada de un producto.
Fórmula:
Aquí, dividimos la integral en dos partes:
Una función u, que será fácil derivar.
Una función dv, que será fácil integrar.
Luego usamos la fórmula, y muchas veces el resultado se vuelve más simple.
¿De dónde sale esta fórmula?
De la regla del producto de la derivada:
Si integramos ambos lados, obtenemos:
Reordenando:
Y eso es exactamente lo que usamos:
Ejemplo paso a paso:
Vamos a resolver:
Elegimos u y dv:
u = x → porque derivarla nos da 1.
dv = e^x dx → porque integrarla es muy fácil.
Derivamos u y integramos dv:
du = dx
v = e^x
Aplicamos la fórmula:
¡Listo! Hemos resuelto una integral que, sin esta técnica, parecería imposible.
¿Cómo elegir u y dv?
Un buen truco es seguir el acrónimo LIATE (Logarítmica, Inversa trigonométrica, Algebraica, Trigonométrica, Exponencial).Elige u como el primer tipo que aparezca en ese orden.
Por ejemplo:
En x·ln(x) → u = ln(x), dv = x dx
En x·cos(x) → u = x, dv = cos(x) dx
¿Cuándo se usa integración por partes?
Cada vez que tienes un producto de funciones, y:
Una se vuelve más simple al derivar.
La otra se integra fácilmente.
O incluso cuando no hay producto, pero puedes “inventarlo”. Por ejemplo:
Aquí puedes escribirlo como:
Y aplicar integración por partes.
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