El dilema del diferencial 'dx': ¿número, símbolo o qué?
- Artemiy Rovinski
- hace 6 días
- 3 Min. de lectura
Actualizado: hace 5 días
Hay algo que todos nos hemos preguntado alguna vez cuando empezamos a estudiar cálculo:
¿Qué rayos es ese “dx”? Y no lo digo por decir: a todos nos lo explican como si fuera algo obvio, pero la realidad es que el dx es uno de los objetos más misteriosos y poderosos de las matemáticas.
Si ya te topaste con la derivada escrita como
entonces ya sabes de lo que hablo. A veces se te dice que esto es una fracción, otras veces que no es una fracción pero que se puede tratar como si lo fuera, y en cursos más avanzados resulta que ¡sí es una fracción!, pero de objetos que ni sabías que existían.
¿Qué es el dx? ¿Y por qué lo tratamos como número?
Primero lo primero: El símbolo dx aparece por primera vez cuando uno empieza a aprender derivadas. Se define como la notación de Leibniz para indicar que estás viendo la razón de cambio de y respecto a x. Formalmente, lo que quieres decir es:
Y en ese sentido, el dx es solo notación. Solo una manera bonita y elegante de escribir el límite.
Pero luego… los matemáticos hacen trampa.
Resulta que a pesar de que dx es notación, muchas veces lo tratamos como si fuera un número. Lo multiplicamos, lo pasamos dividiendo, lo sacamos factor común y hasta lo mandamos al otro lado de una ecuación.
Por ejemplo:
¿Y eso qué es? ¿Una multiplicación? ¿Un engaño? ¿Una fracción rota? ¿Un hechizo?
¿Por qué funciona esta forma de pensar?
La razón por la que estas manipulaciones funcionan es porque hay una teoría más profunda detrás, que sí da sentido a este tipo de operaciones.
En contextos más avanzados (como el cálculo diferencial formal, o el análisis real) el símbolo dx no es un número, pero sí es un objeto matemático con el que puedes operar. Por ejemplo:
En análisis real, se puede pensar en el dx como parte de un diferencial total, que mide una pequeña variación en la variable x.
En geometría diferencial, dx es literalmente una forma diferencial, es decir, un objeto lineal que actúa sobre vectores tangentes.
En teoría de integración, dx también representa una medida (como en integración de Lebesgue).
Entonces no es un número, pero sí tiene propiedades algebraicas que hacen que puedas multiplicarlo o dividirlo en ciertas situaciones. No lo puedes tratar como fracción en cualquier lado, pero cuando lo haces bien, sí da resultados correctos.
¿Es válido dividir entre dx?
Esta es una de las preguntas más comunes entre estudiantes. En la notación de Leibniz, muchas veces se "cancelan" los dx en las ecuaciones, como si fueran factores normales. Y aunque en cursos básicos esto puede parecer medio informal, en cursos más avanzados esto se justifica usando estructuras más formales.
Un ejemplo:
Esta ecuación sí tiene sentido, pero dentro de un contexto donde sabes lo que significa una diferencial. En muchas situaciones, el uso de dx te permite ver la derivada como una función lineal, y ese producto tiene interpretación geométrica.
¿Y por qué a los matemáticos nos encanta esta notación del diferencial?
Porque hace que muchas fórmulas sean naturales. Por ejemplo, cuando integras por sustitución:
Si tratas du/dx como fracción y cancelas los dx, la fórmula se vuelve sencilla y lógica.
Además, la notación de Leibniz permite expresar derivadas parciales y totales, diferenciales exactas e integrales múltiples de forma intuitiva.
Y la verdad… los matemáticos somos flojos. Si algo funciona, es bonito y nos ahorra trabajo, lo usamos. Así de simple.
Entonces, ¿qué es el dx al final?
Depende del contexto.
En cursos básicos de cálculo, dx es una notación poderosa que se puede manipular de forma intuitiva.
En matemáticas avanzadas, dx es un objeto formal, una forma diferencial o un tipo de medida infinitesimal.
Para ti como estudiante, es una herramienta que debes aprender a usar con respeto y cuidado. Como un cuchillo afilado: puede cortar pan… o cortarte a ti.
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