¿Qué es el Producto Tensorial y qué son los Tensores? | Álgebra Lineal Formal y Moderna

Si estás estudiando algebra lineal y te has topado con palabras como “tensor”, “producto tensorial” o “espacio dual”, es probable que hayas sentido que entraste a una dimensión paralela. Tranquilo: aquí te explicamos con precisión y claridad qué significan estos conceptos fundamentales.

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El contexto: ¿Por qué estudiar tensores en Álgebra Lineal?

En cursos básicos de algebra lineal, te enseñan vectores, matrices, transformaciones lineales… Pero el tensor es la herramienta que generaliza todo esto.

Un tensor extiende la noción de vectores y matrices a un marco mucho más general: es un objeto matemático que vive en un producto de espacios vectoriales, y que puede representar desde transformaciones multilineales hasta entidades físicas como tensiones, curvaturas y mucho más.

¿Qué es un Producto Tensorial?

Formalmente, el producto tensorial de dos espacios vectoriales V y W sobre un mismo cuerpo K, denotado como V⊗W, es un nuevo espacio vectorial que permite representar funciones bilineales de forma lineal.

¿Qué significa eso?

Cuando tienes una función f : V×W → K bilineal, es decir, lineal en cada componente, existe un tensor T∈V⊗W tal que:

Esto permite trabajar con funciones bilineales como si fueran vectores. Así de potente es el producto tensorial.

Si

entonces

es decir, los tensores de segundo orden corresponden a las matrices.

Entonces, ¿qué es un Tensor?

Un tensor es un elemento del producto tensorial de espacios vectoriales. Dependiendo de cuántos espacios estén involucrados, puede ser:

• Un tensor de orden 1: simplemente un vector.

• Un tensor de orden 2: puede verse como una matriz (elemento de V⊗WV \otimes WV⊗W).

• Un tensor de orden 3 o más: generaliza la noción de matriz a dimensiones superiores, apareciendo en aplicaciones físicas y geométricas avanzadas.

También se pueden definir tensores como transformaciones multilineales que toman varios vectores y devuelven un escalar, de forma lineal en cada entrada. Por ejemplo:

¿Dónde aparecen los tensores?

Los tensores son una herramienta crucial no solo en algebra lineal avanzada, sino también en:

• Relatividad General, donde describen la curvatura del espacio-tiempo.

• Ingeniería, donde representan tensiones en materiales.

• Deep Learning, donde las redes neuronales procesan entradas que son tensores de orden 3 o más (como imágenes en color).

• Geometría Diferencial, para definir estructuras en variedades y campos vectoriales.

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