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🧠10 Ejercicios Resueltos de Factorización para Entenderlo Todo Desde Cero

Actualizado: 10 jul

La factorización es uno de esos temas de matemáticas que se enseñan en la escuela, y que muchos recuerdan como algo confuso... pero solo porque nunca lo vieron bien. Aquí te presento 10 ejercicios de factorización resueltos paso a paso, con explicaciones claras, para que por fin lo entiendas de verdad.


Ya sea que estés en secundaria, bachillerato o quieras reforzar tus bases para un curso más avanzado, estos ejercicios te van a servir un montón.



✅ Ejercicio 1: Factor común con binomios


Factoriza: (x² - 1)(x + 2) + (1 - x²)(x - 3)

Solución

Nota que 1 - x² = -(x² - 1)

Entonces: (x² - 1)(x + 2) - (x² - 1)(x - 3)

Factor común: (x² - 1)

Resultado: (x² - 1)[(x + 2) - (x - 3)] = (x² - 1)(5) = 5(x - 1)(x + 1)



✅ Ejercicio 2: Trinomio cúbico disfrazado


Factoriza: x⁶ - 13x³ + 36

Solución

Haz el cambio y = x³

Entonces: y² - 13y + 36 = (y - 9)(y - 4)

Regresamos:(x³ - 9)(x³ - 4)



✅ Ejercicio 3: Estructura de cuadrado perfecto en binomio al cubo


Factoriza: (x² + 6x + 9)³ - 27

Solución

Nota que x² + 6x + 9 = (x + 3)²

Entonces: [(x + 3)²]³ - 3³ = (x + 3)^6 - 27

Usamos: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

Cambio: a = (x + 3)², b = 3

Resultado: [(x + 3)² - 3][(x + 3)^4 + 3(x + 3)² + 9]



✅ Ejercicio 4: Suma de cubos con radicales


Factoriza: 8x³ + 27y³

Solución

Suma de cubos: (2x)³ + (3y)³ = (2x + 3y)(4x² - 6xy + 9y²)



✅ Ejercicio 5: Cuatrinomio especial


Factoriza: x³ + x² - x - 1

Solución

Agrupamos:

(x³ + x²) - (x + 1) =

= x²(x + 1) - 1(x + 1)

= (x + 1)(x² - 1)

= (x + 1)(x - 1)(x + 1)

= (x + 1)²(x - 1)



✅ Ejercicio 6: Producto notable elevado


Factoriza: (x + 2y)⁴ - (x - 2y)⁴

Solución

Diferencia de potencias pares: A⁴ - B⁴ = (A² - B²)(A² + B²)

Con A = x + 2y, B = x - 2y


Entonces:

  • A² = x² + 4xy + 4y²

  • B² = x² - 4xy + 4y²

  • A² - B² = 8xy

  • A² + B² = 2x² + 8y²


    Resultado: 8xy(2x² + 8y²) = 16xy(x² + 4y²)



✅ Ejercicio 7: Factor común racional


Factoriza: (1/2)x² - (3/4)x

Solución

Factor común: (1/4)x

Resultado: (1/4)x(2x - 3)



✅ Ejercicio 8: Polinomio grado 4 con raíz evidente


Factoriza: x⁴ - 5x² + 4

Solución

Cambio y = x² → y² - 5y + 4 = (y - 1)(y - 4)

Entonces:(x² - 1)(x² - 4) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)



✅ Ejercicio 9: Factor común + factorización múltiple


Factoriza: 4x³y - 36xy

Solución

Factor común: 4xy4xy(x² - 9) = 4xy(x - 3)(x + 3)



✅ Ejercicio 10: Identidad cúbica invertida


Factoriza: x³ - 3x² + 3x - 1

Solución

Reconocer el desarrollo de (x - 1)³(x - 1)³ = x³ - 3x² + 3x - 1

Resultado: (x - 1)³



🧠 Conclusión de los ejercicios


Aprender a factorizar no es cuestión de memorizar fórmulas a lo loco. Es cuestión de observar patrones, practicar y entender los casos.


Estos 10 ejercicios resueltos te dan una idea clara de cómo enfrentarte a varios tipos de expresiones algebraicas comunes.



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