10 Ejercicios Resueltos de Integrales Impropias
- 9 jul 2025
- 2 min de lectura
Actualizado: 14 jul 2025
Las integrales impropias son uno de los temas que más confusión causan a los estudiantes. Ya dominaste las integrales definidas e indefinidas, pero llega un punto donde aparecen cosas raras: intervalos infinitos, funciones con asíntotas, valores que "parecen no existir"... y de pronto necesitas un nuevo enfoque.
Este blog es un compendio de 10 ejercicios resueltos de integrales impropias pensados para estudiantes que ya saben integrar, pero quieren poner a prueba su habilidad con estos casos especiales.
🔎 ¿Qué son las Integrales Impropias?
Antes de lanzarnos con los ejercicios, recuerda que una integral impropia ocurre cuando:
El intervalo de integración no es finito (como de 1 a ∞.
La función tiene una discontinuidad vertical (como 1/x en 0).
En estos casos, evaluamos el límite correspondiente y determinamos si la integral converge o diverge.
🧠 Ejercicios Resueltos de Integrales Impropias
1.
Solución:
✅ Converge
2.
Solución:
❌ Diverge
3.
Solución:
✅ Converge
4.
Solución:
❌ Diverge
5.
Solución:
✅ Converge
6.
Solución:
✅ Converge
7.
Solución:
✅ Converge
8.
Solución:
✅ Converge
9.
Solución:
✅ Converge
10.
Solución:
Esta es una integral impropia por dos razones:
El intervalo de integración es infinito, pues va de 1 a ∞.
La función sinx/x no tiene primitiva elemental, por lo que no se puede resolver con técnicas de integración directas.
Sin embargo, sí se puede estudiar su convergencia usando el criterio de Dirichlet:
✍️ Criterio de Dirichlet (forma general):
Si f es una función acotada y oscilante (como el seno), y si g es una función monótonamente decreciente (como 1/x) y que tiende a cero, entonces la integral impropia
converge.
Aplicamos esto con:
Por tanto, la integral
converge, aunque no se puede expresar con funciones elementales.
✅ Converge
🧮 Conclusión
Las integrales impropias son una herramienta fundamental para entender problemas reales donde hay infinito involucrado o discontinuidades. Saber si una integral converge o no, es una habilidad que puede aplicarse en análisis, física y probabilidad.
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