10 Ejercicios de Integrales Resueltos Paso a Paso (el último es especial)

Artemiy Rovinski
9 jul
2 Min. de lectura

¿Ya sabes integrar pero sientes que todos los ejemplos que encuentras son demasiado fáciles o repetitivos? Aquí te dejamos una colección de 10 ejercicios de integrales que no son ni triviales ni imposibles. Ideales para practicar antes de un examen, repasar o simplemente afinar tu técnica.

Además de la solución paso a paso, seleccionamos integrales con distintos enfoques: cambio de variable, por partes, fracciones parciales y hasta una impropia. ¡Manos a la obra!

1. ∫ x² · cos(x) dx

Solución:

u = x² → du = 2x dx

dv = cos(x) dx → v = sin(x)

→ ∫x²cos(x)dx = x²sin(x) − ∫2x·sin(x) dx

Ahora integra por partes de nuevo en ∫2x·sin(x) dx

Resultado final: x²sin(x) + 2xcos(x) − 2sin(x) + C

2. ∫ ln(x) dx

Solución:

u = ln(x) → du = (1/x) dx

dv = dx → v = x

→ ∫ln(x) dx = x·ln(x) − ∫1 dx

= x·ln(x) − x + C

3. ∫ 1 / (x² + 1) dx

Solución:

Reconocemos la derivada de arctan(x): arctan(x) + C

4. ∫ eˣ · sin(x) dx

Solución:

Integración por partes dos veces o usar fórmula estándar: (1/2)·eˣ · (sin(x) − cos(x)) + C

5. ∫ tan(x) dx

Solución:

Usamos la identidad: tan(x) = sin(x)/cos(x)

Sustituyendo u = cos(x) → du = −sin(x) dx

Obtenemos

−ln|cos(x)| + C

6. ∫ x³·ln(x) dx

Solución:

u = ln(x) → du = 1/x dx

dv = x³ dx → v = x⁴/4

→ ∫x³ln(x) dx

= (x⁴/4)·ln(x) − ∫(x⁴/4)·(1/x) dx

= (x⁴/4)·ln(x) − (1/4)·∫x³ dx

= (x⁴/4)·ln(x) − x⁴/16 + C

7. ∫ dx / (x·ln(x))

Solución:

Sustituye u = ln(x) → du = 1/x dx

→ ∫ du / u

= ln|ln(x)| + C

8. ∫ x / √(1 − x²) dx

Solución:

Sustituye u = 1 − x² → du = −2x dx

Reescribiendo obtenemos:

= −(1/2)·∫ du / √u

= −√(1 − x²) + C

9. ∫ sec³(x) dx

Solución:

Esta es una integral estándar:

= (1/2)·sec(x)·tan(x) + (1/2)·ln|sec(x) + tan(x)| + C

10. ∫ x·e^(x²) dx

Solución:

Sustituye u = x² → du = 2x dx

= (1/2)·∫ eᵘ du

= (1/2)·e^(x²) + C

🧠 Conclusión de estos ejercicios de integrales

Como puedes ver, resolver integrales no es solo aplicar una fórmula, sino elegir el método adecuado: por partes, sustitución, fracciones parciales o simplemente una buena observación.

Estos ejercicios de integrales son el tipo de ejercicios que aparecen en evaluaciones de nivel intermedio, por ejemplo, en carreras como Matemáticas, Física, Ingeniería, o simplemente para quienes ya completaron un curso básico y quieren llevar sus habilidades al siguiente nivel.