Números complejos: qué son, de dónde salen y por qué importan
Los números complejos son los números de la forma a + bi, donde a y b son reales e i es un número que cumple i² = −1. Con ellos toda ecuación polinomial tiene solución y girar un punto en el plano se reduce a multiplicar. Aquí va qué son, cómo se construyen con rigor, su forma polar con la fórmula de Euler y por qué la física y la ingeniería los usan todo el tiempo.
Lo primero que conviene quitarse de la cabeza: el nombre «imaginario» es un accidente histórico. Matemáticamente, los complejos existen igual que √2 o π, y más abajo te enseño cómo se construyen usando solo parejas de números reales, sin magia.
¿Qué son los números complejos?
Un número complejo es una expresión z = a + bi con a y b reales. A a se le llama parte real (Re z) y a b, parte imaginaria (Im z). Ojo con esto último: la parte imaginaria es el número real b, no bi.
Qué significa cada símbolo:
z: el número complejo.
a = Re z: la parte real.
b = Im z: la parte imaginaria (un número real).
i: la unidad imaginaria, que cumple i² = −1.
|z| = √(a² + b²): el módulo, o sea, la distancia de z al origen.
z̄ = a − bi: el conjugado, que es el reflejo de z respecto al eje real.
Dos complejos son iguales cuando coinciden sus partes reales y sus partes imaginarias. Si b = 0, z es un real de toda la vida; si a = 0 y b ≠ 0, se dice que z es imaginario puro. Así que ℝ ⊂ ℂ: cada número real es un complejo con parte imaginaria cero.
Operaciones: suma, producto y división
Se opera como con polinomios en i y, cada vez que aparece i², se cambia por −1.
Suma. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
Producto. (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Por ejemplo, (3 + 2i)(1 − 4i) = 3 − 12i + 2i − 8i² = 3 − 10i + 8 = 11 − 10i.
División. Se multiplica arriba y abajo por el conjugado del denominador, porque (c + di)(c − di) = c² + d² es real. Por ejemplo, (1 + 2i)/(3 − i) = (1 + 2i)(3 + i)/[(3 − i)(3 + i)] = (3 + i + 6i + 2i²)/10 = (1 + 7i)/10 = 1/10 + (7/10)i.
La identidad que hace funcionar la división es z·z̄ = a² + b² = |z|².
Potencias de i. i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1, y de ahí se repite cada 4. Para calcular iⁿ basta el residuo de n entre 4.
Números complejos como pares de reales: la definición rigurosa
«Un número cuyo cuadrado es −1» suena a trampa, y durante mucho tiempo así se veía. La salida limpia, que Hamilton publicó en la década de 1830, es no suponer que i existe, sino construirlo.
Definición. ℂ es el conjunto de pares ordenados (a, b) de números reales con las operaciones (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) y (a, b)·(c, d) = (ac − bd, ad + bc).
Los pares de la forma (a, 0) se comportan exactamente como los reales: (a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0) y (a, 0)·(c, 0) = (ac, 0). Por eso escribimos simplemente a en lugar de (a, 0). Ahora llamamos i al par (0, 1) y calculamos:
i² = (0, 1)·(0, 1) = (0·0 − 1·1, 0·1 + 1·0) = (−1, 0) = −1.
Nadie inventó un número raro: salió de una regla para multiplicar parejas. Y como (a, b) = (a, 0) + (b, 0)·(0, 1), todo par se escribe como a + bi.
Proposición 1. Todo complejo z = a + bi distinto de 0 tiene inverso multiplicativo, z⁻¹ = a/(a² + b²) − [b/(a² + b²)]i.
Dem. Como z ≠ 0, a² + b² > 0 y la fórmula tiene sentido. Al multiplicar, (a + bi)(a − bi)/(a² + b²) = (a² + b²)/(a² + b²) = 1. ∎
Con esto, y con las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva (que se verifican directo con la definición), ℂ es un campo: se suma, se resta, se multiplica y se divide entre números no nulos, igual que en ℝ. Si te interesan este tipo de estructuras, en el post sobre qué es el álgebra moderna hablo de grupos, anillos y campos.
Proposición 2. En ℂ no existe un orden compatible con las operaciones. Es decir, no hay manera de definir «z > 0» de modo que (i) para cada z ≠ 0 se cumpla exactamente una de z > 0 o −z > 0, y (ii) el producto de dos positivos sea positivo.
Dem. Supón que ese orden existe. Como i ≠ 0, o bien i > 0 o bien −i > 0. Si i > 0, entonces i·i = −1 > 0. Si −i > 0, entonces (−i)(−i) = i² = −1 > 0. En ambos casos −1 > 0, y entonces también 1 = (−1)(−1) > 0. Así, 1 y −1 serían positivos a la vez, lo que contradice (i). ∎
Por eso no tiene sentido preguntar si 3 + 2i es mayor que 1 + 5i. Lo que sí se compara son los módulos: |3 + 2i| = √13 < √26 = |1 + 5i|.
El plano complejo y la forma polar
Caspar Wessel (1799) y Jean-Robert Argand (1806) propusieron dibujar a + bi como el punto (a, b) del plano: el eje horizontal para la parte real y el vertical para la imaginaria. A ese dibujo se le llama plano complejo o diagrama de Argand.
En el dibujo, z = 3 + 4i está a distancia |z| = √(9 + 16) = 5 del origen, y su conjugado 3 − 4i es su reflejo respecto al eje real. El ángulo θ que forma el segmento con el eje real positivo se llama argumento de z. Con r = |z| y θ, la trigonometría da a = r cos θ y b = r sen θ, así que todo complejo se escribe en forma polar:
Qué significa cada símbolo:
r = |z|: el módulo, siempre mayor o igual que 0.
θ: el argumento, medido en radianes desde el eje real positivo; está definido salvo múltiplos de 2π.
e^(iθ): abreviatura de cos θ + i sen θ (es la fórmula de Euler, que vemos más abajo).
n: un entero positivo.
Si te preguntas por qué el ángulo va en radianes y no en grados, lo explico en por qué los matemáticos preferimos los radianes. Aquí no es un capricho: la fórmula de Euler solo es cierta con radianes.
Multiplicar es girar y escalar
Proposición 3. Si z = r(cos α + i sen α) y w = s(cos β + i sen β), entonces zw = rs[cos(α + β) + i sen(α + β)].
Dem. Al desarrollar el producto, zw = rs[(cos α cos β − sen α sen β) + i(sen α cos β + cos α sen β)]. Por las fórmulas de suma de ángulos, el primer paréntesis es cos(α + β) y el segundo es sen(α + β). ∎
Dicho en palabras: al multiplicar dos números complejos, los módulos se multiplican y los argumentos se suman. Multiplicar por i (módulo 1, argumento π/2) es girar 90°. Por eso i² = −1: girar 90° dos veces te deja apuntando al lado contrario.
El teorema de De Moivre
Teorema (De Moivre). Para todo entero n ≥ 1, (cos θ + i sen θ)ⁿ = cos nθ + i sen nθ.
Dem. Por inducción sobre n. Para n = 1 no hay nada que probar. Si vale para n, entonces (cos θ + i sen θ)ⁿ⁺¹ = (cos nθ + i sen nθ)(cos θ + i sen θ) = cos(n + 1)θ + i sen(n + 1)θ, donde la última igualdad es la Proposición 3 con r = s = 1. ∎
Si la inducción todavía te da comezón, la explico junto con otras técnicas en tipos de demostraciones en matemáticas.
Un ejemplo: 1 + i tiene módulo √2 y argumento π/4. Entonces (1 + i)⁸ = (√2)⁸(cos 2π + i sen 2π) = 16. Hacerlo desarrollando el binomio sería un castigo.
La fórmula de Euler: e^(iπ) + 1 = 0
Euler encontró que, para todo número real θ, e^(iθ) = cos θ + i sen θ.
Esbozo. La serie de la exponencial es eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯. Si sustituyes x = iθ y usas i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1, los términos pares forman 1 − θ²/2! + θ⁴/4! − ⋯ = cos θ, y los impares forman i(θ − θ³/3! + θ⁵/5! − ⋯) = i sen θ. Para que esto sea una demostración completa hay que justificar que las series convergen absolutamente y que se pueden reacomodar; eso se ve en un curso de análisis.
Con θ = π sale e^(iπ) = −1, o sea, e^(iπ) + 1 = 0, una igualdad que junta a e, i, π, 1 y 0. La consecuencia práctica es que la forma polar se escribe z = re^(iθ), y la Proposición 3 se vuelve una ley de los exponentes: re^(iα) · se^(iβ) = rs·e^(i(α + β)).
De dónde salen los números complejos
La versión escolar dice que los complejos se inventaron para resolver x² + 1 = 0. Históricamente no fue así: durante siglos, ante una cuadrática sin raíces reales se decía «no tiene solución» y ya.
El problema serio apareció con las ecuaciones cúbicas. En su Ars Magna (1545), Cardano publicó la fórmula para resolver x³ = px + q:
x = ∛(q/2 + √(q²/4 − p³/27)) + ∛(q/2 − √(q²/4 − p³/27)).
Rafael Bombelli, en su L'Algebra (1572), la aplicó a x³ = 15x + 4. Ahí q²/4 − p³/27 = 4 − 125 = −121, y la fórmula da x = ∛(2 + 11i) + ∛(2 − 11i).
Lo incómodo es que x = 4 sí es solución (64 = 60 + 4); de hecho, las tres raíces, 4 y −2 ± √3, son reales. Bombelli notó que (2 + i)³ = 2 + 11i y (2 − i)³ = 2 − 11i, así que la fórmula da (2 + i) + (2 − i) = 4: las partes imaginarias se cancelan. Para llegar a una respuesta real hubo que pasar por números «imposibles», y por eso los matemáticos ya no pudieron ignorarlos.
Lo demás vino poco a poco. Descartes los llamó «imaginarios» en 1637, con tono despectivo; Euler empezó a usar la letra i; Wessel y Argand los dibujaron; Gauss popularizó el nombre «número complejo», y Hamilton les dio la definición con pares que vimos arriba. La entrada de Wikipedia sobre el número complejo tiene una cronología más detallada.
Por qué importan los números complejos
Toda ecuación polinomial tiene solución. El teorema fundamental del álgebra dice que todo polinomio no constante con coeficientes complejos tiene al menos una raíz en ℂ; en consecuencia, uno de grado n se factoriza en n factores lineales. Con los reales eso falla: x² + 1 no se factoriza en ℝ. Gauss dio varias demostraciones y ninguna es elemental.
Ecuaciones diferenciales. Para resolver y″ + y = 0 se prueba y = e^(λx) y sale λ² + 1 = 0, o sea, λ = ±i. De e^(ix) = cos x + i sen x salen las soluciones reales cos x y sen x. Así se estudian resortes y circuitos, y en general cualquier cosa que oscile; lo cuento con calma en ecuaciones diferenciales: qué son y por qué importan.
Electricidad. En corriente alterna, resistencias, bobinas y capacitores se combinan en un solo número complejo, la impedancia. En ingeniería eléctrica a la unidad imaginaria se le escribe j, porque la i ya estaba ocupada por la corriente.
Señales y audio. La transformada de Fourier, que está detrás del análisis de señales y de la compresión de audio e imagen, descompone una señal en sumas de exponenciales e^(iωt).
Física cuántica. La ecuación de Schrödinger lleva una i explícita, y el estado de un sistema cuántico se describe con amplitudes complejas.
Fractales. El conjunto de Mandelbrot está formado por los c ∈ ℂ para los que la sucesión z₀ = 0, zₙ₊₁ = zₙ² + c se mantiene acotada.
Ejercicios resueltos de números complejos
1. Calcula i²⁰²⁶.
Solución. 2026 = 4·506 + 2, así que i²⁰²⁶ = i² = −1.
2. Escribe (2 − 3i)/(1 + i) en la forma a + bi.
Solución. Multiplicando por el conjugado del denominador: (2 − 3i)(1 − i)/[(1 + i)(1 − i)] = (2 − 2i − 3i + 3i²)/2 = (−1 − 5i)/2 = −1/2 − (5/2)i.
3.* Calcula (1 + √3 i)⁶.
Solución. |1 + √3 i| = √(1 + 3) = 2 y su argumento es π/3. Por De Moivre, (1 + √3 i)⁶ = 2⁶(cos 2π + i sen 2π) = 64.
4.* Encuentra todos los z ∈ ℂ tales que z² = i.
Solución. En forma polar, i = e^(iπ/2). Si z = re^(iθ), entonces z² = r²e^(2iθ), así que r = 1 y 2θ = π/2 + 2kπ, es decir, θ = π/4 o θ = 5π/4 (los demás valores de k repiten estos dos). Las soluciones son z = ±(√2/2)(1 + i). Comprobación: [(√2/2)(1 + i)]² = (1/2)(1 + 2i + i²) = (1/2)(2i) = i.
5.** Demuestra que |zw| = |z||w| para todos z, w ∈ ℂ.
Dem. Usamos que |z|² = z·z̄ y que el conjugado de un producto es el producto de los conjugados (se comprueba directo con la definición). Entonces |zw|² = (zw)·(z̄·w̄) = (z·z̄)(w·w̄) = |z|²|w|². Como los módulos son mayores o iguales que 0, al sacar raíz queda |zw| = |z||w|. ∎
Errores típicos de examen
Escribir √(−4)·√(−9) = √36 = 6. La regla √a·√b = √(ab) solo vale para a, b ≥ 0. Lo correcto: √(−4) = 2i y √(−9) = 3i, así que el producto es 6i² = −6.
Dividir «parte por parte». (a + bi)/(c + di) no es a/c + (b/d)i. Siempre multiplica por el conjugado del denominador.
Sacar el argumento solo con arctan(b/a). Para z = −1 − i, arctan(1) = π/4, pero z está en el tercer cuadrante y su argumento es −3π/4 (o 5π/4, que es lo mismo). Dibuja el punto antes de dar el ángulo.
Decir que la parte imaginaria de 3 + 4i es 4i. Es 4, un número real.
Preguntas frecuentes sobre los números complejos
¿Para qué sirven los números complejos en la vida real?
En ingeniería eléctrica (impedancias en corriente alterna), en el procesamiento de señales y audio (transformada de Fourier), en teoría de control, en mecánica cuántica y en cualquier modelo de algo que oscila. En la práctica, simplifican cálculos que con senos y cosenos serían larguísimos.
¿Qué es i en matemáticas?
Es la unidad imaginaria: el número complejo (0, 1), que cumple i² = −1. Cuidado con llamarla «la raíz de −1» como si fuera única: −1 tiene dos raíces cuadradas complejas, i y −i.
¿Los números reales son números complejos?
Sí. Todo real a es el complejo a + 0i, así que ℝ está contenido en ℂ. Lo que se pierde al pasar a ℂ es el orden: no se puede decir cuál de dos complejos es mayor.
¿Por qué se llaman números imaginarios?
Por Descartes, que en 1637 usó la palabra «imaginarias» para raíces que no consideraba reales. El nombre se quedó, pero con la construcción con pares de reales no tienen nada de imaginario.
Los números complejos en resumen
Un número complejo es a + bi con a y b reales e i² = −1; formalmente, un par (a, b) con la multiplicación (a, b)·(c, d) = (ac − bd, ad + bc).
ℂ es un campo, pero no se puede ordenar.
En forma polar, z = re^(iθ): multiplicar complejos multiplica módulos y suma argumentos, y de ahí sale De Moivre.
Los números complejos aparecieron para resolver cúbicas con raíces reales, no cuadráticas, y hoy son la herramienta estándar para todo lo que oscila.
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