Teorema del valor medio: qué dice, demostración y por qué importa

El teorema del valor medio (TVM, también llamado teorema de Lagrange) dice esto: si una función es continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe al menos un punto c entre a y b donde la derivada es igual a la pendiente promedio, f′(c) = (f(b) − f(a)) / (b − a). En español de carretera: si recorriste 120 km en una hora, en algún instante el velocímetro marcó exactamente 120 km/h.

Suena obvio, y justo por eso se subestima. Es el teorema que conecta la derivada, que es información de un solo instante, con el comportamiento de la función en todo un intervalo. Sin él no podrías demostrar que una función con derivada positiva es creciente, ni el teorema fundamental del cálculo, ni la regla de L'Hôpital. Vamos por partes: qué dice, por qué es cierto y cómo se usa en examen.

¿Qué dice el teorema del valor medio?

Este es el enunciado formal:

Teorema del valor medio (Lagrange)

Qué significa cada símbolo:

• f: la función que estudias.

• [a, b]: el intervalo cerrado donde f debe ser continua, sin saltos ni huecos, incluidos los extremos.

• (a, b): el intervalo abierto donde f debe ser derivable, sin picos ni tangentes verticales.

• (f(b) − f(a)) / (b − a): la razón de cambio promedio de f en [a, b], es decir, la pendiente de la recta secante que une (a, f(a)) con (b, f(b)).

• c: un punto estrictamente entre a y b. El teorema garantiza que existe, pero no te dice cuál es ni que sea único.

• f′(c): la razón de cambio instantánea en c, o sea, la pendiente de la recta tangente en ese punto.

Interpretación geométrica: la tangente paralela a la secante

Dibuja la gráfica de f y traza la recta secante entre sus extremos. El teorema asegura que en algún punto intermedio la recta tangente tiene exactamente la misma pendiente que la secante: son paralelas.

La tangente en c es paralela a la secante

En la gráfica, f(x) = x³ − x en [0, 2]. La secante va de (0, 0) a (2, 6), así que su pendiente es 6/2 = 3. La derivada es f′(x) = 3x² − 1, y la ecuación 3c² − 1 = 3 da c² = 4/3, es decir, c = 2/√3 ≈ 1.155 (el valor negativo −2/√3 se descarta porque no está en el intervalo). En ese punto la tangente punteada es paralela a la secante roja.

La versión física es la del inicio. Si x(t) es la posición de un coche, el cociente (x(b) − x(a)) / (b − a) es la velocidad promedio y x′(c) es lo que marca el velocímetro en el instante c. Por eso funcionan los radares de velocidad promedio por tramo: si tu promedio en el tramo pasó del límite, el teorema garantiza que en algún momento tu velocidad lo excedió.

Las hipótesis no son decoración

Quita una sola hipótesis y el teorema puede fallar. Dos contraejemplos que conviene tener a la mano:

• Sin derivabilidad. f(x) = |x| en [−1, 1] es continua, pero no es derivable en 0. La secante tiene pendiente (1 − 1)/2 = 0, y en cambio f′(x) vale −1 o 1 donde existe. Nunca vale 0.

• Sin continuidad en un extremo. Sea f(x) = x en [0, 1) y f(1) = 0. Es derivable en (0, 1) con f′ = 1, pero la secante tiene pendiente (0 − 0)/1 = 0. Tampoco hay c.

Moraleja de examen: antes de usar el teorema escribe explícitamente «f es continua en [a, b] porque…» y «f es derivable en (a, b) porque…». Muchos profesores quitan puntos si no lo haces.

Teorema de Rolle: el caso especial que lo sostiene todo

El teorema de Rolle es el TVM cuando la función empieza y termina a la misma altura:

Teorema de Rolle. Si f es continua en [a, b], derivable en (a, b) y f(a) = f(b), entonces existe c ∈ (a, b) tal que f′(c) = 0.

Geométricamente: si sales y regresas a la misma altura, en algún punto la tangente es horizontal, porque tuviste que pasar por una cima o un valle.

Dem. Por el teorema de los valores extremos, f alcanza en [a, b] un máximo M y un mínimo m. Si M = m, f es constante y f′(c) = 0 para cualquier c ∈ (a, b). Si M ≠ m, al menos uno de los dos es distinto de f(a) = f(b), así que se alcanza en un punto interior c ∈ (a, b). Supongamos que es el máximo. Entonces f(c + h) − f(c) ≤ 0 para todo h pequeño, de modo que el cociente (f(c + h) − f(c))/h es ≤ 0 si h > 0 y ≥ 0 si h < 0. Como f es derivable en c, ambos límites laterales coinciden con f′(c), que entonces es ≤ 0 y ≥ 0 a la vez: f′(c) = 0. El caso del mínimo es igual. ∎

Demostración del teorema del valor medio

La idea es inclinar el problema hasta convertirlo en Rolle: a f le restamos la recta secante.

g(x) = f(x) − [ f(a) + m·(x − a) ], donde m = (f(b) − f(a)) / (b − a)

Dem. La recta f(a) + m(x − a) es continua y derivable en todo ℝ, así que g es continua en [a, b] y derivable en (a, b), con g′(x) = f′(x) − m. Además g(a) = f(a) − f(a) − 0 = 0 y g(b) = f(b) − f(a) − m(b − a) = 0. Por el teorema de Rolle existe c ∈ (a, b) con g′(c) = 0, es decir, f′(c) = m = (f(b) − f(a)) / (b − a). ∎

Fíjate en lo que mide g: la distancia vertical entre la curva y la secante. Esa distancia vale 0 en los extremos, así que en algún punto interior es máxima o mínima, y justo ahí la curva va paralela a la secante. Si quieres ver variantes, como el teorema del valor medio de Cauchy, la entrada de Wikipedia sobre el TVM y sus variantes es una buena referencia.

Por qué importa el teorema del valor medio

Casi todo lo que sabes sobre derivadas y monotonía sale de aquí. Tres consecuencias, cada una con su demostración de una línea:

Derivada cero implica función constante

Si f′(x) = 0 para toda x en un intervalo I, entonces f es constante en I. Dem. Para x < y en I, el TVM da f(y) − f(x) = f′(c)(y − x) = 0. ∎ Esto justifica el famoso «+ C»: dos antiderivadas de la misma función difieren en una constante, porque su diferencia tiene derivada 0.

Derivada positiva implica función creciente

Si f′(x) > 0 en I, entonces f es estrictamente creciente en I. Dem. Para x < y, f(y) − f(x) = f′(c)(y − x) > 0, porque ambos factores son positivos. ∎ De aquí sale el criterio de la primera derivada que usas para encontrar máximos y mínimos. Si quieres repasar qué mide la derivada, tenemos una guía sobre qué es el cálculo diferencial y qué es la derivada.

El puente al teorema fundamental del cálculo

La segunda parte del teorema fundamental del cálculo, ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) con F′ = f, se demuestra con el TVM. En cada subintervalo [xᵢ₋₁, xᵢ] de una partición, F(xᵢ) − F(xᵢ₋₁) = f(cᵢ)·Δxᵢ para algún cᵢ. Al sumar, el lado izquierdo es telescópico y da F(b) − F(a), y el derecho es una suma de Riemann de f, que tiende a la integral. El panorama completo está en nuestra explicación de qué es el teorema fundamental del cálculo.

Otras herramientas que dependen de él: la regla de L'Hôpital (vía el teorema del valor medio de Cauchy), el polinomio de Taylor con residuo y las cotas de error de los métodos numéricos.

Ejercicios resueltos del teorema del valor medio

Dificultad: sin estrella es cálculo directo, * requiere una idea y ** es demostración formal.

Ejercicio 1. Verifica el TVM para f(x) = x² en [1, 3] y encuentra c.

Solución. f es un polinomio, así que es continua y derivable en todo ℝ. La pendiente de la secante es (9 − 1)/(3 − 1) = 4. Como f′(c) = 2c = 4, c = 2 ∈ (1, 3). Dato curioso: para cualquier parábola, c siempre es el punto medio del intervalo.

Ejercicio 2. Encuentra el valor c que garantiza el teorema para f(x) = √x en [1, 4].

Solución. √x es continua en [1, 4] y derivable en (1, 4); solo deja de ser derivable en 0, que no está en el intervalo. La pendiente de la secante es (2 − 1)/(4 − 1) = 1/3. Igualando, f′(c) = 1/(2√c) = 1/3, de donde √c = 3/2 y c = 9/4 = 2.25 ∈ (1, 4).

Ejercicio 3 (*). ¿Se puede aplicar el TVM a f(x) = 1/x en [−1, 1]?

Solución. No: f no está definida en 0, así que no es continua en [−1, 1]. Y de hecho la conclusión falla: la secante tiene pendiente (1 − (−1))/(1 − (−1)) = 1, mientras que f′(x) = −1/x² < 0 para toda x ≠ 0. Ningún c sirve.

Ejercicio 4 (*). Demuestra que la ecuación x³ + x − 1 = 0 tiene exactamente una raíz real.

Dem. Sea p(x) = x³ + x − 1. Existencia: p(0) = −1 < 0 y p(1) = 1 > 0, y por el teorema del valor intermedio hay una raíz en (0, 1). Unicidad: si hubiera dos raíces r < s, entonces p(r) = p(s) = 0 y por Rolle existiría c ∈ (r, s) con p′(c) = 0. Pero p′(x) = 3x² + 1 ≥ 1 para toda x. Contradicción. ∎ Si las demostraciones por contradicción todavía te cuestan, revisa nuestra guía de tipos de demostraciones en matemáticas.

Ejercicio 5 (**). Demuestra que eˣ ≥ 1 + x para toda x ∈ ℝ, con igualdad solo en x = 0.

Dem. En x = 0 hay igualdad. Si x > 0, el TVM aplicado a eᵗ en [0, x] da eˣ − 1 = e^c · x con 0 < c < x; como e^c > 1, eˣ − 1 > x. Si x < 0, en [x, 0] se tiene 1 − eˣ = e^c · (−x) con x < c < 0; como e^c < 1 y −x > 0, 1 − eˣ < −x, es decir, eˣ > 1 + x. ∎

Ejercicio 6 (**). Demuestra que x/(1 + x) < ln(1 + x) < x para toda x > 0.

Dem. g(t) = ln(1 + t) es continua en [0, x] y derivable en (0, x), con g′(t) = 1/(1 + t). Por el TVM, ln(1 + x) − ln 1 = x/(1 + c) para algún c ∈ (0, x). Como 1 < 1 + c < 1 + x, se cumple x/(1 + x) < x/(1 + c) < x. ∎

Ejercicio 7 (**). Demuestra que |sen a − sen b| ≤ |a − b| para todos a, b ∈ ℝ.

Dem. Si a = b no hay nada que probar. Si no, el TVM aplicado a sen x entre a y b da sen a − sen b = cos(c)·(a − b) para algún c entre ambos. Como |cos c| ≤ 1, |sen a − sen b| ≤ |a − b|. ∎ Este tipo de desigualdad (una función con derivada acotada no puede cambiar más rápido que esa cota) aparece en todo análisis numérico.

Errores típicos de examen

• No verificar las hipótesis. Continuidad en el intervalo cerrado y derivabilidad en el abierto. Sin eso, la respuesta está incompleta aunque el número sea correcto.

• Dar un c fuera de (a, b). Si al despejar obtienes dos valores, como ±2/√3 en el ejemplo de x³ − x, descarta el que no esté en el intervalo abierto.

• Creer que c es único. Para sen x en [0, 2π] la secante tiene pendiente 0, y cos c = 0 tiene dos soluciones: c = π/2 y c = 3π/2.

• Confundir los dos teoremas del valor medio. El de derivadas habla de f′(c); el de integrales habla del valor promedio f(c) de una función continua.

Preguntas frecuentes sobre el teorema del valor medio

¿Cuál es la diferencia entre el teorema de Rolle y el teorema del valor medio?

Rolle es el caso particular en que f(a) = f(b): la secante es horizontal y la conclusión es f′(c) = 0. El TVM es el caso general, y se demuestra a partir de Rolle restándole a f la recta secante.

¿Por qué también se le llama teorema de Lagrange?

Porque Joseph-Louis Lagrange lo presentó en su forma general a finales del siglo XVIII. Antes, en 1691, Michel Rolle había publicado un resultado de este tipo para polinomios, y en la década de 1820 Augustin-Louis Cauchy le dio una demostración rigurosa dentro del cálculo moderno.

¿El punto c del teorema del valor medio es único?

No necesariamente. El teorema garantiza al menos uno. Por ejemplo, para sen x en [0, 2π] hay dos: c = π/2 y c = 3π/2. Para una parábola sí es único y es el punto medio del intervalo.

¿Qué es el teorema del valor medio para integrales?

Si f es continua en [a, b], existe c ∈ [a, b] tal que ∫ₐᵇ f(x) dx = f(c)·(b − a); es decir, f alcanza su valor promedio. Ejemplo: ∫₀³ x² dx = 9 = c²·3, así que c = √3. Es el mismo TVM aplicado a F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt.

Lo que te llevas

El teorema del valor medio es la pieza que convierte información local (la derivada en un punto) en información global (cómo se comporta la función en todo un intervalo). Si dominas su enunciado, sus hipótesis y el truco de restar la secante para reducirlo a Rolle, tienes resuelta buena parte de las preguntas teóricas de un examen de Cálculo Diferencial. Para repasar los cimientos, lee qué es un límite y su definición formal.

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