¿Qué es un limite en Cálculo Diferencial? La definición formal que todo estudiante debería entender
- Artemiy Rovinski
- 23 may
- 2 Min. de lectura
Actualizado: 4 jul
En matematicas, pocas ideas son tan fundamentales —y a la vez tan mal comprendidas— como el limite. Cualquiera que haya estudiado calculo ha escuchado frases como “la función se acerca a un número”, pero ¿qué significa realmente eso? Hoy nos adentramos en la definición formal de límite, una de las piedras angulares del análisis matemático moderno.
La intuición detrás del límite
Primero, recordemos la idea intuitiva. Supón que tienes una función f y te preguntas qué valor tiene "cuando x se acerca a a". Tal vez ves que, al probar con valores cercanos a a, el resultado de fx) parece acercarse a cierto número L. En lenguaje informal decimos:
“El límite de f cuando x tiende a a es L”.
Pero como buenos estudiantes de una carrera de alto nivel con matematicas, necesitamos algo más riguroso que la intuición. Aquí es donde entra la famosa definición ε - δ.
La definición formal del limite (epsilon-delta)
La definición precisa dice que tenemos:
si, para todo ε>0, existe un δ>0 tal que
¿Suena intimidante? No lo es tanto si lo entendemos paso a paso:
ε (épsilon) representa qué tan cerca queremos que esté f(x) de L.
δ (delta) representa qué tan cerca tiene que estar x de a para que eso se cumpla.
La parte 0 < ∣x−a∣ < δ asegura que estamos hablando de valores cercanos a a, pero no exactamente en a. Por eso |x-a| tiene que ser mayor que cero (diferente de cero).
Un ejemplo simple
Veamos que
Queremos probar que, para todo ε>0, existe un δ>0 tal que:
Observa:
Queremos que 2∣x−3∣<ε, así que basta con pedir que
¡Listo! Así podemos tomar
y se cumple la definición. Así, demostramos formalmente que el limite existe y vale 7.
¿Por qué es importante esta definición?
En el calculo, esta definición permite construir de manera rigurosa conceptos más avanzados como la derivada, la continuidad y la integral. Sin esta base, todo lo demás sería solo intuición sin sustento lógico. Esta forma formal de pensar es lo que distingue a los verdaderos matematicos.
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