¿Un vector siempre es una n-tupla? No exactamente… 😳

Artemiy Rovinski
2 jul
3 Min. de lectura

Cuando pensamos en la palabra vector, es probable que se te venga a la mente una flecha, o algo como esto:

(3, 1),

(4, -2, 7),

o incluso (0, 0, 0, 1, -5)

Y es lógico. Desde la secundaria y hasta bien entrado el inicio de la universidad, te enseñan que un vector es una lista ordenada de números, o como se le conoce formalmente: una n-tupla.

Pero… ¿y si te dijera que eso no es toda la historia? 👀 En este blog vamos a explorar qué es realmente un vector, por qué todo el mundo cree que siempre se ven como n-tuplas, y qué clase de criaturas abstractas pueden ser en realidad.

El mito de las n-tuplas

Una n-tupla es simplemente una lista ordenada de n números reales (aunque podrían ser complejos, racionales, etc.) como:

(2, 5)
(-1, 3, 0)
(π, √2, -7, 1/2)

Y sí, esas listas representan vectores en espacios vectoriales comunes, como ℝ² o ℝ³. Pero lo importante aquí es lo que muy pocos mencionan:

👉 Esa representación depende completamente de una base.

Es decir: cuando escribes un vector como una n-tupla, lo estás haciendo respecto a una base previamente elegida. Cambiamos la base… y ¡cambia la n-tupla!

Entonces, ¿qué es un vector en realidad?

De manera más abstracta (y más poderosa), un vector es simplemente un elemento de un espacio vectorial.

Eso significa que un vector puede ser muchas cosas diferentes:

Tipo de vector	Ejemplo de espacio vectorial
Una función	El espacio de funciones continuas en ℝ
Un polinomio	El conjunto de todos los polinomios de grado ≤ 3
Una matriz	El espacio de matrices 2x2 con coeficientes reales
Un campo vectorial	Funciones de ℝ³ a ℝ³ que cumplen condiciones especiales

💡 ¡Sí! Un vector puede ser una función entera, una matriz, un polinomio… incluso una sucesión infinita.

¿Por qué entonces siempre usamos n-tuplas?

Porque son súper convenientes. Si eliges una base de tu espacio vectorial, entonces cualquier vector en ese espacio puede representarse como una combinación lineal de los vectores de esa base.

Y si representas la combinación lineal con los coeficientes, obtienes la famosa n-tupla:

a₁·v₁ + a₂·v₂ + … + aₙ·vₙ → (a₁, a₂, …, aₙ)

Entonces, la n-tupla no es el vector, sino su coordenada respecto a una base.💥 ¡Boom! Así que no te confundas: el vector es el objeto abstracto. La n-tupla es su expresión respecto a una base.

¿Y eso para qué sirve?

Entender que un vector no tiene que ser una lista de números te da más libertad para explorar nuevas ideas matemáticas:

Te abre paso al cálculo funcional, donde los vectores son funciones.
Te prepara para la mecánica cuántica, donde los estados cuánticos son vectores en espacios vectoriales complejos.
Te permite trabajar con espacios infinito-dimensionales, donde ni siquiera tiene sentido escribir una n-tupla.

En otras palabras: si quieres pensar como un verdadero matemático o física/o teórica/o, necesitas romper con el mito de la n-tupla.

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