Ejercicios de derivadas resueltos paso a paso (9 ejercicios con solución)
Actualizado: hace 2 días
Estos son 9 ejercicios de derivadas resueltos, ordenados de más fácil a más difícil. Arrancamos con la definición de límite, seguimos con potencias, producto, cociente y regla de la cadena, y cerramos con derivación implícita, derivación logarítmica y una demostración.
Los que tienen * son cuentas directas; los de ** ya requieren pensarle un poco. Intenta cada uno en papel antes de leer la solución: se aprende mucho más equivocándose primero. Si todavía no tienes clara la intuición de qué mide una derivada, antes date una vuelta por qué es el cálculo diferencial y qué es la derivada.
Antes de empezar: las reglas de derivación que vas a usar
Todo sale de una sola definición. La derivada de f en x es el límite del cociente de incrementos:
Aquí x es el punto donde derivas, h es un incremento pequeño (positivo o negativo) y el cociente [f(x + h) − f(x)] / h es la pendiente de la recta secante entre x y x + h. Cuando h → 0, la secante se convierte en tangente. Si el límite no te convence, repasa la definición formal de límite.
De esa definición se demuestran las cuatro reglas que resuelven casi cualquier ejercicio de bachillerato y primer semestre:
En las fórmulas, f y g son funciones derivables y f′, g′ sus derivadas. En la regla de la potencia n es un número real (si n no es entero, trabaja con x > 0). En la cadena, f′(g(x)) quiere decir «la derivada de la función de afuera, evaluada en la de adentro». Si quieres una referencia libre y rigurosa, está el libro Cálculo, volumen 1 de OpenStax.
Ejercicios de derivadas resueltos paso a paso (de * a **)
Ejercicio 1 (*). Derivada por definición
Enunciado. Usando la definición, calcula la derivada de f(x) = x² − 3x.
Solución. Primero el numerador: f(x + h) − f(x) = (x + h)² − 3(x + h) − x² + 3x = 2xh + h² − 3h. Dividimos entre h (que es distinto de 0 dentro del límite): 2x + h − 3. Ahora sí, h → 0:
f′(x) = 2x − 3.
Fíjate que el truco siempre es el mismo: expandir, cancelar lo que no tiene h y factorizar h para poder simplificar.
Ejercicio 2 (*). Regla de la potencia con raíces y fracciones
Enunciado. Deriva f(x) = 3x⁴ − 2/x + 5√x.
Solución. Antes de derivar, reescribe todo como potencia: f(x) = 3x⁴ − 2x⁻¹ + 5x^(1/2). Aplicando (xⁿ)′ = n xⁿ⁻¹ término a término: 12x³ + 2x⁻² + (5/2)x^(−1/2).
f′(x) = 12x³ + 2/x² + 5/(2√x).
Ejercicio 3 (*). Regla del producto
Enunciado. Deriva f(x) = x²·eˣ.
Solución. Con u = x² y v = eˣ: (uv)′ = u′v + uv′ = 2x·eˣ + x²·eˣ. Factoriza eˣ para dejarlo limpio:
f′(x) = eˣ(x² + 2x) = x(x + 2)eˣ.
Ejercicio 4 (*). Regla del cociente
Enunciado. Deriva f(x) = (x² + 1)/(x − 1).
Solución. Numerador u = x² + 1, denominador v = x − 1, con u′ = 2x y v′ = 1. Entonces f′(x) = [2x(x − 1) − (x² + 1)·1] / (x − 1)². Desarrollando arriba: 2x² − 2x − x² − 1 = x² − 2x − 1.
f′(x) = (x² − 2x − 1)/(x − 1)², para x ≠ 1.
Ejercicio 5 (*). Regla de la cadena
Enunciado. Deriva f(x) = (3x² − 5)⁷.
Solución. La función de afuera es u⁷ (derivada 7u⁶) y la de adentro es u = 3x² − 5 (derivada 6x). Afuera evaluada en adentro, por la derivada de adentro: 7(3x² − 5)⁶ · 6x.
f′(x) = 42x(3x² − 5)⁶. Desarrollar el binomio a la séptima antes de derivar es legal, pero es la forma más lenta de equivocarse.
Ejercicio 6 (**). Cadena con tres capas
Enunciado. Deriva f(x) = ln(cos 3x) en un intervalo donde cos 3x > 0.
Solución. Hay tres funciones encadenadas: ln, coseno y 3x. Derivamos de afuera hacia adentro y multiplicamos: (1/cos 3x) · (−sen 3x) · 3.
f′(x) = −3 tan 3x.
Ejercicio 7 (**). Derivación implícita y recta tangente
Enunciado. La curva x² + xy + y² = 7 pasa por (1, 2). Encuentra dy/dx y la recta tangente en ese punto.
Solución. Comprobamos el punto: 1 + 2 + 4 = 7. Derivamos ambos lados respecto a x, recordando que y depende de x (por eso xy pide regla del producto y y² pide cadena): 2x + (y + x y′) + 2y y′ = 0. Despejamos: y′(x + 2y) = −(2x + y), así que y′ = −(2x + y)/(x + 2y). En (1, 2): y′ = −4/5.
Recta tangente: y − 2 = −(4/5)(x − 1), es decir, y = −(4/5)x + 14/5.
Ejercicio 8 (**). Derivación logarítmica
Enunciado. Deriva f(x) = xˣ para x > 0.
Solución. Aquí la x está en la base y en el exponente, así que no es potencia (no vale x·xˣ⁻¹) ni exponencial (no vale xˣ ln x). Tomamos logaritmo natural: ln f(x) = x ln x. Derivando ambos lados: f′(x)/f(x) = ln x + 1. Multiplicamos por f(x):
f′(x) = xˣ(ln x + 1). Este truco es una de las razones por las que el logaritmo natural es el más importante.
Ejercicio 9 (**). Demuestra la regla del producto
Enunciado. Si f y g son derivables en a, demuestra que fg es derivable en a y que (fg)′(a) = f′(a)g(a) + f(a)g′(a).
Dem. Sumamos y restamos f(a)g(a + h) en el numerador del cociente incremental:
[f(a + h)g(a + h) − f(a)g(a)] / h = {[f(a + h) − f(a)] / h} · g(a + h) + f(a) · {[g(a + h) − g(a)] / h}.
El primer cociente tiende a f′(a) y el último a g′(a). Falta ver que g(a + h) → g(a): como g es derivable en a, g(a + h) − g(a) = h · [g(a + h) − g(a)]/h → 0 · g′(a) = 0, o sea, g es continua en a. Tomando el límite h → 0 en toda la expresión obtenemos (fg)′(a) = f′(a)g(a) + f(a)g′(a). ∎
Ese truco de sumar y restar el mismo término aparece una y otra vez en análisis; con él sale también la regla del cociente. Si te late demostrar, el siguiente paso natural es el teorema del valor medio.
Errores típicos de examen al derivar
Derivar el producto como producto de derivadas. (fg)′ ≠ f′g′. Prueba con x·x: la respuesta correcta es 2x, no 1.
Olvidar la derivada de adentro. (sen 3x)′ = 3 cos 3x, no cos 3x. Es el error más caro del semestre.
Voltear el orden en el cociente. Es f′g − fg′ arriba; si lo inviertes te sale el signo contrario.
Confundir xˣ con xⁿ o con aˣ. Cuando la variable está en base y exponente, toca derivación logarítmica.
No reescribir antes de derivar. √x = x^(1/2) y 1/x = x⁻¹: así todo se vuelve regla de la potencia.
Preguntas frecuentes sobre ejercicios de derivadas
¿Cómo saber qué regla de derivación usar?
Mira la operación «más externa» de la función: si es una suma, derivas término a término; si es un producto, regla del producto; si es un cociente, regla del cociente; si es una función dentro de otra, regla de la cadena. Si la variable aparece en la base y en el exponente, usa derivación logarítmica.
¿Qué es la regla de la cadena en palabras simples?
Derivas la función de afuera dejando intacta la de adentro y multiplicas por la derivada de la de adentro: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Si hay más capas, repites el proceso hacia adentro.
¿Por qué la derivada de una constante es cero?
Por definición: si f(x) = c, el cociente [f(x + h) − f(x)]/h = (c − c)/h = 0 para todo h ≠ 0, así que el límite es 0. Geométricamente, la gráfica es una recta horizontal y su pendiente es cero.
¿Qué relación hay entre derivar e integrar?
En esencia son operaciones inversas, y el teorema fundamental del cálculo dice exactamente en qué sentido. Por eso, si derivas con soltura, las integrales se te van a hacer mucho más fáciles.
Cómo sacarles provecho
Con estos ejercicios de derivadas resueltos tienes las técnicas que más salen en un primer examen de Cálculo Diferencial. Haz la prueba: tapa las soluciones y rehaz los nueve. Si alguno se te atora, regresa a la tabla de reglas y pregúntate cuál es la operación más externa; casi siempre ahí está la pista.
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